字典网 问答 小学 数学 设抛物线C:y^2=2px(p>0),直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点设抛物线C:y^2=2px(p>0),直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点.(1)是否存在这样的直线l,使
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设抛物线C:y^2=2px(p>0),直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点设抛物线C:y^2=2px(p>0),直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点.(1)是否存在这样的直线l,使
问题描述:

设抛物线C:y^2=2px(p>0),直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点设抛物线C:y^2=2px(p>0),直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点.(1)是否存在这样的直线l,使三角形AOF成为正三角形,若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由(2)是否存在这样的直线l1,使三角形AOF成为等腰直角三角形,若存在,求出l1的方程;若不存在,请说明理由

高洪涛回答:
  (1)根据题意,焦点F(p/2,0)   假设存在这样的正三角形AOF   已知OF=p/2,则点A的横坐标为p/4,点A到OF的距离=√3p/4   因为点A在抛物线上,所以3p^2/16=p^2/2,矛盾   所以不存在这样的直线l,使得△AOF是正三角形   (2)假设存在这样的等腰直角三角形   ①OF是直角边   则点A横坐标为p/2,点A到OF的距离=p/2   因为点A在抛物线上,所以p^2/4=p^2,矛盾   所以这种情况不存在   ②OF是斜边   则点A横坐标为p/4,点A到OF的距离=p/4   因为点A在抛物线上,所以p^2/16=p^2/2,矛盾   所以这种情况不存在   综上所述,不存在这样的直线l,使得△AOF是等腰直角三角形
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